Question

15．寻求某些勾股数的规律：
（1）对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：3²+4²=5²，若把它扩大2倍、3倍，就分别得到6²+8²=10²和9²+12²=15²，…若把它扩大11倍，就得到33²+44²=55²，若把它扩大n倍（n为正整数），就得到（3n）²+（4n）²=（5n）²．
 （2）对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：
 若勾股数为3，4，5，因为3²=5²-4²，则有3²=4+5；
若勾股数为5，12，13，则有5²=12+13；
若勾股数为7，24，25，则有7²=24+25；…
若勾股数为17，a，b（a＜b），根据以上的规律，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知数据找出规律进而得出答案；
（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可得出答案．

解答 解：（1）∵3²+4²=5²，把它扩大2倍、3倍，就分别得到6²+8²=10²和9²+12²=15²，…
∴把它扩大11倍，就得到33²+44²=55²，若把它扩大n倍（n为正整数），就得到（3n）²+（4n）²=（5n）²．
故答案为：33²+44²=55²，（3n）²+（4n）²=（5n）²；

（2）∵3²=9=4+5，5²=25=12+13，…
∴7²=49=24+25，
由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m²拆分为两个连续的整数之和，
即m²=n+（n+1），则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数，
证明：∵m²=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m²+n²=2n+1+n²=（n+1）²，∴m，n，（n+1）是一组勾股数；
运用以上结论，∵17²=289=144+145，∴a=144，b=145．
故答案为：7²=49=24+25．

点评 此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a²+b²=c²，则三角形ABC是直角三角形．