Question

7．在平面直角坐标系中，⊙O′与x轴相交于A（2，0），B（8，0），⊙O′的圆心O′在直线y=$\frac{4}{5}$x上，求⊙O′的半径，并判断⊙O′与y轴的位置关系．

Answer 1

分析 作O′C⊥AB于C，连接O′B，则∠O′CB=90°，由已知条件得出OA=2，OB=8，AB=8-2=6，由垂径定理得出AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=3，求出点O′的坐标为（5，4），O′C=4，由勾股定理得出O′B=$\sqrt{O′{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，即可得出⊙O′的半径为5；由圆心O′到y轴的距离=⊙O′的半径，得出⊙O′与y轴相切．

解答 解：作O′C⊥AB于C，连接O′B，如图所示：
则∠O′CB=90°，
∵A（2，0），B（8，0），
∴OA=2，OB=8，
∴AB=8-2=6，
由垂径定理得：AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴OC=2+3=5，
把x=5代入直线y=$\frac{4}{5}$x得：y=4，
∴点O′的坐标为（5，4），O′C=4，
由勾股定理得：O′B=$\sqrt{O′{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
即⊙O′的半径为5；
∵点O′的坐标为（5，4），
∴圆心O′到y轴的距离d=5=⊙O′的半径，
∴⊙O′与y轴的位置关系是相切．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理、垂径定理、一次函数图象上点的坐标特征；通过作辅助线运用垂径定理和勾股定理是解决问题的关键．