Question

【题目】如图，一次函数y＝x+1的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象交于A，B两点，点A在x轴上．点B的横坐标为4．

（1）b＝　 　，c＝　 　；

（2）设二次函数的图象与y轴交于C点，与x轴的另一个交点为D．连接AC，CD，求∠ACD的正弦值；

（3）若M点在x轴下方二次函数图象上，

①过M点作y轴平行线交直线AB于点E，以M点为圆心，ME的长为半径画圆，求圆M在直线AB上截得的弦长的最大值；

②若∠ABM＝∠ACO，则点M的坐标为　 　．

Answer 1

【答案】（1）﹣，﹣3；（2）；（3）①，②

【解析】

（1）求出点A、B的坐标，将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）由点A、C、D的坐标得：AD=5，DC=3，AC=，利用解直角三角形的方法求解即可；

（3）①EF=2EH=2EMcos∠AEM=（m+1﹣m2+m+3）=﹣m2+m+，即可求解；

②利用解直角三角形的方法求AP的值，得到OP，进而求解．

（1）对于y=x+1，令y=0，则x=﹣2，故点A（﹣2，0），

将点B的坐标代入直线表达式并解得：点B（4，3），

将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

故答案为：﹣；﹣3；

（2）由（1）知抛物线的表达式为：y=x2﹣x﹣3①，

令y=0，则x=3或﹣2，故点D（3，0），

令x=0，则y=﹣3，故点C（0，﹣3），

由点A、C、D的坐标得：AD=5，DC=3，AC=，

过点D作DH⊥AC于点H，设CH=x，则AH=﹣x，

在△ACD中，HD2=OA2﹣AH2=CD2﹣CH2，即25﹣（﹣x）2=（3）2﹣x2，

解得：x=，

，

则sin∠ACD=；

（3）①如图2，设圆M与直线AB的另外一个交点为F，则EF为所求，

连接MF，过点M作MH⊥AB于点H，

由直线AB的表达式知tan∠EAO=，则tan∠AEM=2，则cos∠AEM=，

设点M（m，m2﹣m﹣3），则点E（m，m+1），

则EF=2EH=2EMcos∠AEM=（m+1﹣m2+m+3）=﹣m2+m+，

∵＜0，故EF有最大值，当m=1时，EF的最大值为，

故圆M在直线AB上截得的弦长的最大值为；

②如图3，设直线AB交y轴于点H（0，1），直线BM交x轴于点P，过点P作PQ⊥AB于点Q，

由直线AB的表达式知tan∠BAO=，则tan∠AGO=2，

在Rt△AQD中，tan∠QAD= tan∠BAO=，

在△AOC中，tan∠ACO==，

∵∠ABM=∠ACO，

tan∠ABM= tan∠ACO==

设PQ=2x，则QB=3x，AQ=4x，

则AB=AQ+QB=7x=，解得：x=，

AP=，

∴OP=AP﹣OA=，故点P，

由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：y=﹣x﹣4②，令y=x2﹣x﹣3①

联立①②并解得：x=或4（与点B重合，舍去），

将x=代入②，得

故点M，

故答案为．