Question

已知抛物线y=ax2+bx+8(a＞

1

2

)，过点D（5，3），与x轴交于B（x₁，0）、C（x₂，0）两点，且S_△ABC=3，过点D作直线l⊥CD与y轴交于点A，与x轴交于点E．
（1）求a、b的值；
（2）设BD与AC交于F，求AF：FC的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）过点D作DM⊥OE于点M，则DM∥AO，所以△DME∽△AOE，由三角形相似的性质：对应边的比值相等可求出ME的长，再利用已知条件可求出BC的长，进而求出B的坐标，再把B和D的坐标代入抛物线的解析式，即可求出a和b的值；
（2）由（1）中的a=1，b=-6，所以抛物线的解析式可知，进而可得C的坐标，所以直线BD的解析式、直线AC的解析式、直线l的解析式都可求出，再联立直线AC和直线BD的解析式，可求出交点F的坐标，进而可求出AF和FC的值，其比值即可求出．

解答：解：（1）过点D作DM⊥OE于点M，
∵点D（5，3），
∴OM=5，DM=3，
∵抛物线y=ax2+bx+8(a＞

1

2

)，与y轴交于点A，
∴AO=8，
∵DM∥AO，
∴△DME∽△AOE，
∴

DM

AO

=

ME

EO

，
∴

3

8

=

ME

ME+5

，
解得：ME=3，
∵DM=ME，
∴∠MDE=∠DEM=45°，
∵过点D作直线l⊥CD与y轴交于点A，
∴∠CDM=45°，
∴∠DCM=45°，
∴CM=DM=3，
∵S_△ABC=3，
∴

1

2

×8×BC=3，
解得：BC=

3

4

，
∴B点横坐标为：2，
∴B点坐标为：（2，0），
将B，D点代入函数解析式得：

4a+2b+8=0 25a+5b+8=3

，
解得：

a=1 b=-6

，
∴a=1，b=-6；
（2）∵a=1，b=-6，
∴抛物线的解析式为：y=x²-6x+8，
∴B（2，0），C（4，0），
∵D（5，3），
∴直线BD为；y=x-2，直线CD为：y=3x-12，
∵直线l⊥CD，
∴直线l的解析式为：y=-

1

3

x+b，
把D（5，3）代入得：b=

14

3

，
∴直线l的解析式为：y=-

1

3

x+

14

3

，
∴A（0，

14

3

），
∴直线AC为：y=-

7

6

x+

14

3

，
解；

y=x-2 y=- 7 6 x+ 14 3

，得

x= 40 13 y= 14 13

，
∴F（

40

13

，

14

13

），
∴

AF

FC

=

14 3 - 14 13

14 13

=

10

3

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数和一次函数与坐标轴交点的问题以及两条直线交点的问题、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不小，特别是对学生的计算能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．