Question

如图，?ABDC中，BN⊥AB，交AD于点N，CM⊥CD，交AD于点M，连接BM、CN
（1）求证：四边形CMBN是平行四边形；
（2）若点M、N是AD的三等分点，且AC=5，AB=8，求CM的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出∠CDM=∠BAN，然后通过△DCM≌△ABN求得CM=BN，∠DMC=∠ANB，进而求得CM∥BN，最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得；
（2）延长CM交AB于E，由点M、N是AD的三等分点，得出E为AB的中点，ME是三角形ABN的中位线，然后根据勾股定理求得CE的长，最后根据三角形的中位线定理即可求得BN的长，进而求得CM的长；

解答：（1）证明：∵?ABDC中，AB=CD，AB∥CD，
∴∠CDM=∠BAN，
又∵BN⊥AB，CM⊥CD，
∴∠MCD=∠ABN，
在△DCM和△ABN中，

∠CDM=∠BAN AB=CD ∠MCD=∠ABN

，
∴△DCM≌△ABN（ASA），
∴CM=BN，∠DMC=∠ANB，
∴CM∥BN，
∴四边形CMBN是平行四边形；

（2）解：延长CM交AB于E，
∵点M、N是AD的三等分点，
∴MN=AM，
∵四边形CMBN是平行四边形，
∴CE∥BN，
∴AE=EB=

1

2

AB=4，
∴ME是△ABN的中位线，
∴ME=

1

2

BN，
∵AB∥CD，CM⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴CE=

AC2-AE2

=

52-42

=3，
∵CM=BN，
∴ME=CE-CM=CE-BN，
∴CE-BN=

1

2

BN，
即3-BN=

1

2

BN，
∴BN=2，
∴CM=2；

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理的应用、三角形的中位线定理等，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理是本题的关键；