Question

【题目】如图，矩形中，与相交于点，，将沿折叠，点的对应点为，连接交于点，且，在边上有一点，使得的值最小，此时（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

设BD与AF交于点M．设AB=a，AD=a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a=2，再证明CF=CD=2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，-2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出=．

如图，设BD与AF交于点M．设AB=a，AD=a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，tan∠ABD=，

∴BD=AC==2a，∠ABD=60°，

∴△ABE、△CDE都是等边三角形，

∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，

∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，

∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a，

在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，

∴GM=BG=1，BM=GM=，

∴DM=BD-BM=2a-，

∵矩形ABCD中，BC∥AD，

∴△ADM∽△GBM，

∴，即，

∴a=2，

∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2，AD=BC=6，BD=AC=4，

易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，

∴△ADF是等边三角形，

∵AC平分∠DAF，

∴AC垂直平分DF，

∴CF=CD=2，

作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH=B′E，值最小．

如图，建立平面直角坐标系，

则A（3，0），B（3，2），B′（3，-2），E（0，），

易求直线B′E的解析式为y=-x+，

∴H（1，0），

∴BH==4，

∴=．

故选：B．