Question

【题目】如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点

（1）求证：是的切线；

（2）求证：

（3）若，，求弦的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；

（2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；

（3）证明△CBD∽△DCA，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=a，则由勾股定理可得AC的长．

（1）连，

∵，

∴，

又，，

∴，

∵是的直径，

∴，

∴，

，

∴，且过半径的外端点，

∴是的切线；

（2）在和中，，

，为公共边，

∴，

∴，又，

∴；

（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，

∴△CBD∽△DCA，

∴，

∴，

∴DA=2，

∴AB=AD-BD=2-1=1，

设BC=a，AC=a，由勾股定理可得：a2+(a)2＝12，

解得：a=，

∴AC＝．