Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上，∠EDF=60°．
（1）当点D为AB中点时，且∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E、F，如图1，求证：DE=DF；
（2）当点D不是AB中点，且

AD

AB

=

1

3

时，
①若∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E、F，如图2，求

DE

DF

；
②若∠EDF的边DE交线段AC于点E，边DF交BC延长线于点F，如图3，直接写出

DE

DF

的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据等腰三角形的三线合一，可得CD平分∠ACB，根据角平分线的性质，可得DG与DH的关系，根据等角的补角相等，可得∠DFH=∠DEG，根据AAS，可得△DGE≌△DHF，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得△ADG∽△BDH，根据相似三角形的性质

DG

DH

=

AD

BD

=

1

2

，再根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（3）根据∠A=∠B，∠AGD=∠BHD，可得△ADG∽△BDH，根据相似三角形的性质，可得

DG

DH

=

AD

BD

=

1

2

，根据∠EDI=∠ICF，∠EID=∠FIC，∠EDI+∠EID+∠DEI=∠FIC+∠FCI+CFI=180°，可得∠DEG=∠DFH，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得△DEG∽△DFH，根据相似三角形的性质，可得答案．

解答：解：（1）连接CD，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H，，
∴∠DGE=∠DHF=90°，
∵AC=BC，点D为AB中点，
∴CD平分∠ACB，
∴DG=DH．
∵∠ACB=120°，∠EDF=60°，
∴∠DEC+∠DFH=180°，
∵∠DEC+∠DEG=180°，
∴∠DFH=∠DEG，
在△DGE和△DHF中，

∠DGE=∠DHF ∠DEG=∠DFH DG=DH

，
∴△DGE≌△DHF（AAS），
∴DE=DF

（2）①过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H，，
∴∠DGE=∠DHF=∠DGA=∠DHC=90°．
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∴△ADG∽△BDH，
∵

AD

AB

=

1

3

，
∴

DG

DH

=

AD

BD

=

1

2

，
∵∠DGE=∠DHF，∠DFH=∠DEG，
∴△DGE∽△DHF，
∴

DE

DF

=

DG

DH

=

1

2

，
②如图3作DG⊥AC与G点，DH⊥BC与H点，

DE

DF

=

1

2

．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．