Question

【题目】抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．

（1）如图1，已知A（﹣1，0），B（3，0）．

①直接写出抛物线的解析式；

②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐标；

（2）如图2，直线y＝﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称．

①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：DB⊥AE；

②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣x2+2x+3；②点H的坐标为（，0）；（2）①见解析；②DB⊥AE

【解析】

（1）①用待定系数法解答便可；

②过D作DE⊥AC于点E，DF⊥CH于点F，求出DF，设H（m，0），再由三角形的面积公式列出m的方程进行解答；

（2）①设DE与x轴的交点为G点，连接DB，并延长DB与AE交于点H，运用求函数图象的交点坐标的方法求出A、B，D点坐标，求得DG、BG、AG、EG，再证明△DBG∽△AGE便可得结论；

②仿照上面方法便可得结论．

解：（1）①把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得

，

∴，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；

②过D作DE⊥AC于点E，DF⊥CH于点F，如图1，

∵y＝﹣x2+2x+3

∴C（0，3），

∴OC＝3，

∵A（﹣1，0），B（3，0），D（1，0），

∴OA＝1，OB＝3，OD＝1，AD＝2，

∴，

∵，

∴，

∵CD平分∠ACH，

∴，

设点H的坐标为（m，0），则DH＝m﹣1，，

∵，

∴，

∴m＝﹣1（舍去），或，

∴点H的坐标为（，0）；

（2）①设DE与x轴的交点为G点，连接DB，并延长DB与AE交于点H，如图2，

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），

∴，，

∵直线y＝﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点D，点D在抛物线对称轴的右侧，

∴D点的坐标为，

∵点E，D关于x轴对称，

∴，DG＝EG＝1，

∴，

∴，，

∴，

∵∠DGB＝∠AGE＝90°，

∴△DGB∽△AGE，

∴∠BDG＝∠EAG，

∵∠EAG+∠AEG＝90°，

∴∠BDG+∠AEG＝90°，

∴∠DHE＝90°，

∴DB⊥AE；

②BD⊥AE．如图3，

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），

∴，，

∵直线y＝﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点D，点D在抛物线对称轴的左侧，

∴D点的坐标为，

∵点E，D关于x轴对称，

∴，DG＝EG＝1，

∴，

，

∴，

∵∠DGB＝∠AGF＝90°，

∴△DGB∽△AGE，

∴∠BDG＝∠EAG，

∵∠EAG+∠AEG＝90°，

∴∠BDG+∠AEG＝90°，

∴∠DHE＝90°，

∴DB⊥AE．

故答案是：（1）①y＝﹣x2+2x+3；②点H的坐标为（，0）；（2）①见解析；②DB⊥AE