Question

【题目】如图，在中，，，点是射线上一动点，过点作，垂足为点，交直线于点．

（问题发现）（1）如图1，若点在的延长线上，试猜想，，之间的数量关系为_______；

（类比探究）（2）如图2，若点在线段上，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由；

（拓展应用）（3）当点为的中点时，直接写出线段的长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）的长为或

【解析】

（1）通过证明，可得，再根据，即可得证；

（2）通过证明，可得，再根据，即可得证；

（3）分两种情况：①当点D在线段BC上时；②当点D在线段BC的延长线上时，求解即可．

解：（1）如图1，若点D在BC的延长线上，且点E在线段AD上，AP，CD，BC之间的数量关系为，理由如下

，垂足为点E

在△BPC和△ADC中

（2）．理由如下，如图

∵，

∴，，

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

（3）的长为或

①当点D在线段BC上时

∵，

∴

∴

∴

②当点D在线段BC的延长线上时