Question

15．如图，已知正方形OABC的一个顶点在原点，且对角线OB在x轴的正半轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象与AB边交于点D，若OA²-AD²=8，求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 先过点D作DE⊥OB于E，连接OD，设D（a，b），则DE=b，OE=a，根据∠DBE=45°，求得OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b），代入OA²-AD²=8，即可得出ab的值，进而得到反比例函数的解析式．

解答 解：如图，过点D作DE⊥OB于E，连接OD，
设D（a，b），则DE=b，OE=a，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠DBE=45°，
∴BE=DE=b，OB=a+b，BD=$\sqrt{2}$b，
∴等腰Rt△AOB中，OA=AB=$\frac{OB}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），
AD=AB-BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）-$\sqrt{2}$b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b），
∵OA²-AD²=8，
∴[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）]²-[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）]²=8，
解得ab=4，
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象经过点D，
∴k=ab=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，解决问题的关键是运用数形结合思想，利用点D的坐标求得反比例函数系数k的值．