Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=4，AE=4$\sqrt{2}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）先证明BD为△DBE外接圆的直径，连接OE，再证出∠OEB=∠CBE，由∠CBE+∠CEB=90°，得出∠OEB+∠CEB=90°，即AC⊥OE，即可得出结论；
（2）设OD=OE=OB=x，则OA=x+4，根据勾股定理得出方程，求出半径，得出AB=8，再证明△AOE∽△ABC，得出比例式$\frac{AO}{AB}=\frac{OE}{BC}$，即可求出BC的长．

解答 解：（1）直线AC与△DBE的外接圆相切；理由如下：
∵DE⊥BE，
∴∠BED=90°，
∴BD为△DBE外接圆的直径，
取BD的中点O（即△DBE外接圆的圆心），连接OE，如图所示：
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠OEB+∠CEB=90°，
即AC⊥OE，
∴直线AC与△DBE的外接圆相切；
（2）设OD=OE=OB=x，则OA=x+4，
∵AC⊥OE，
∴∠AEO=90°，
根据勾股定理得：OE²+AE²=OA²，
即x²+（4$\sqrt{2}$）²=（x+4）²，
解得：x=2，
∴OD=OB=2，
∴AB=AD+OD+OB=8，
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{OE}{BC}$，
即$\frac{6}{8}=\frac{2}{BC}$，
∴BC=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要根据勾股定理列出方程和证明三角形相似才能得出结果．