Question

11．在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与AD、BC分别交于点E、F．
（1）求证：AE=CF；
（2）连结AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，推出∠EAC=∠FCA，根据ASA推出Rt△AOE≌Rt△COF即可；
（2）根据全等得出AE=CF，推出四边形AFCE是平行四边形，根据菱形的判定推出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCA，
∵O为AC中点，
∴AO=OC，
∵EF⊥AC，
∴∠AOE=∠COF
∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{AO=CO}\\{∠EAC=∠FCA}\end{array}\right.$
∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF；

（2）解：四边形AFCE是菱形，
理由是：由（1）得AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．

点评 本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能推出Rt△AOE≌Rt△COF是解此题的关键，注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．