Question

2．如图：在△ABC中，AB=AC=10，sinA=$\frac{24}{25}$，点D在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B的方向运动（D不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，点F在线段EC上，且EF=$\frac{1}{4}$AE，以DE、EF为邻边构造平行四边形EFGD，连结BG
（1）AC边上的高是$\frac{48}{5}$；用含t的式子表示EF，则EF=$\frac{1}{4}$t；
（2）设△BGD的面积为S，求S与t的函数关系式并直接写出t的取值范围；
（3）如果△BDG是等腰三角形，求t的值．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥AC于点H，在直角△ABH中利用三角函数即可求解，证明三角形ADE是等腰三角形，则AE=AD=t，则EF即可求得；
（2）△BDG中已知BD=10-t和DG=EF，而∠BDG=∠A，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△DBG是等腰三角形时，分别从BD=DG，BD=BG，DG=BG去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）作BH⊥AC于点H．
∵在Rt△ABH，sinA=$\frac{BH}{AB}$，
∴BH=AB•sinA=10×$\frac{24}{25}$=$\frac{48}{5}$．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AC=AE：AC，
∵AB=AC，
∴AE=AD=t，
又∵EF=$\frac{1}{4}$AE，
∴EF=$\frac{1}{4}$t．
故答案是：$\frac{48}{5}$，$\frac{1}{4}$t；

（2）∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=$\frac{1}{4}$t，
又∵DG∥AC，
∴∠BDG=∠A，
∴S=$\frac{1}{2}$BD•DG•sin∠BDG=$\frac{1}{2}$（10-t）•$\frac{1}{4}$t•$\frac{24}{25}$，
即S=-$\frac{3}{25}$t²+$\frac{6}{5}$t（0＜t＜10）；

（3）若BD=DG，
即10-t=$\frac{1}{4}$t，解得：t=8．
则当t=8时，△DBG是等腰三角形．
若BD=BG，则BH⊥DG于点M，
∴DM=$\frac{1}{2}$DG，
∵sin∠BDG=$\frac{24}{25}$，
∴cos∠BDG=$\frac{7}{25}$，
∵DM=BD•cos∠BDG，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$t=$\frac{7}{25}$（10-t），
解得：t=$\frac{560}{81}$；
若DG=BG，过点G作GN⊥BD于点N，
∴DN=$\frac{1}{2}$BD=DG•cos∠BDG，
∴$\frac{1}{2}$（10-t）=$\frac{7}{25}$×$\frac{1}{4}$t，
解得：t=$\frac{500}{57}$．
综上所述：当t=8或$\frac{560}{81}$或$\frac{500}{57}$时，△BDG是等腰三角形．

点评 此题属于相似三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质以及等腰三角形的性质．利用方程思想与分类讨论思想的求解是解此题的关键．