Question

19．观察下列句子：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}；\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}；\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$…
回答下列问题：
（1）若n为正整数，则可推断$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）利用这一规律简化：
$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+$\frac{1}{（x+3）（x+4）}$+…+$\frac{1}{（x+2012）（x+2013）}$．

Answer 1

分析 （1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）原式利用拆项法变形，抵消合并即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）原式=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2012}$-$\frac{1}{x+2013}$=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2013}$=$\frac{2012}{（x+1）（x+2013）}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．