Question

18．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，求BC、CD的长．

Answer 1

分析 过点B作BH⊥CF于H，如图，在Rt△ABC中利用∠A的正切定义可计算出BC=10$\sqrt{3}$，由于AB∥CF，则根据平行线的性质得到∠BCH=∠ABC=30°，则在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=$\frac{1}{2}$BC=5$\sqrt{3}$，CH=$\sqrt{3}$BH=15，然后在Rt△BDH中，利用∠BDH=45°易得BH=DH=5$\sqrt{3}$，最后利用CD=CH-DH进行计算即可．

解答 解：过点B作BH⊥CF于H，如图，
在Rt△ABC中，∵tanA=$\frac{BC}{AC}$，
∴BC=10tan60°=10$\sqrt{3}$，
∵AB∥CF，
∴∠BCH=∠ABC=90°-∠A=30°，
在Rt△BCH中，∵∠BCH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=5$\sqrt{3}$，
CH=$\sqrt{3}$BH=15，
∵∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
在Rt△BDH中，∵∠BDH=45°，
∴BH=DH=5$\sqrt{3}$，
∴CD=CH-DH=15-5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解直角三角形要用到的关系：锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；三边之间的关系：a²+b²=c²；边角之间的关系：锐角三角函数关系．