Question

1．如图，△ABC中，∠BAC=135°，点P、Q在边BC上，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，并且AP=8，AQ=6，求BC的长．

Answer 1

分析 由MP和QN分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，可得PA=PB，QA=QC，继而可得∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=90°，再利用勾股定理计算出PQ的长，进而可求得答案．

解答 解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=135°，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=45°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=90°．
∵AP=8，AQ=6，
∴PQ=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴BC=20．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．关键是正确计算出∠PAQ的度数，掌握勾股定理．