Question

如图在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为1.5，ED=2，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求△ADO的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：

分析：（1）连OD，首先证明△EOC≌△EOD，则可以证得∠EDO=∠ECO=90°，即可证得；
（2）证明OE是△ABC的中位线，在直角△OEC中，利用勾股定理求得OE的长，然后利用三角形中位线定理求得AB的长；
（3）连接CD，则CD是直角△ABC的斜边AB上的高，根据三角形的面积公式即可求得CD的长，则在直角△ACD中，利用勾股定理求得AD的长，则△ACD的面积即可求得，进而求得△ADO的面积．

解答：（1）证明：连OD，
∵OE∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠EOD=∠ODA，
又∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠EOD，
在△EOC和△EOD中，

OE=OE ∠EOC=∠EOD OC=OD

，
∴△EOC≌△EOD（SAS），
∴∠EDO=∠ECO，
又∵∠C=90°，
∴∠EDO=90°即ED⊥DO 而点D在⊙O上，
∴ED为⊙O的切线．

（2）∵OE∥AB，OA=OC
∴AB=2OE 
又∵∠C=90°，
∴OC⊥EC，
∴EC是⊙O的切线．
∴EC=ED=2，
在△OCE中，OE=

OC2+CE2

=

1.52+22

=2.5，
∴AB=2OE=5；

（3）连结CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA=90°
∴CD⊥AB
在Rt△ABC中，CD⊥AB，
∴CD•AB=AC•BC，
∴CD=2.4，
在Rt△ACD中，AD=

AC2-CD2

=

32-2．42

=1.8，
∴S_△ACD=

1

2

CD•AD=2.16，
∴S_△ADO=

1

2

S△ACD=1.08．

点评：本题考查切线的判定以及勾股定理，已知所证的直线经过圆上的点，证切线常用的方法是转化成证垂直．