Question

17．若x+y=12，且x＞0，y＞0，则代数式$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值是13．

Answer 1

分析 由x+y=12，得到y=12-x，于是得到原式=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-12）^{2}+（0-3）^{2}}$，即可理解为x轴上的一点A（x，0）到B（0，2），C（12，3）的离的最小值，即AB+AC的最小值，如图，作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，与x轴的交点即为点A，此时AB+AC的最小值为B′C的长度，根据两点间的距离公式即可求出B′C=$\sqrt{（12-0）^{2}+（3+2）^{2}}$=13．

解答 解：∵x+y=12，
∴y=12-x，
∴原式=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（12-x）^{2}+9}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-12）^{2}+（0-3）^{2}}$，即可理解为x轴上的一点A（x，0）到B（0，2），C（12，3）的距离的最小值，即AB+AC的最小值，
如图，作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，与x轴的交点即为点A，此时AB+AC的最小值为B′C的长度，
∵B（0，2），
∴B′（0，-2），
∴B′C=$\sqrt{（12-0）^{2}+（3+2）^{2}}$=13，
∴$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值为13，
故答案为：13．

点评 本题考查了轴对称最短距离问题，两点间的距离公式，图象与坐标的关系，把求代数式的最小值转化为最短距离问题是解题的关键．