Question

【题目】如图，直线y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ=45°交x轴于点Q．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．

（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，1），B（1，0）；（2）∠AOP=∠BPQ，理由详见解析；（3）点P坐标为（0，1），（）或（1）时，△OPQ是等腰三角形．

【解析】

（1）根据直线y=﹣x+1即可求得A、B的坐标；

（2）根据OA=OB，求得△AOB是等腰直角三角形，得出∠OAB=∠OBA=45°，根据三角形外角的性质即可得出结论．

（3）假设存在等腰三角形，分三种情况讨论：（ⅰ）OP=OQ；（ⅱ）QP=QO；（ⅲ）PO=PQ．能求出P点坐标，则存在点P，否则，不存在．

（1）∵直线y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，令x=0，则y=0+1=1，∴A（0，1），令y=0，则0=﹣x+1，解得：x=1，∴B（1，0）．

（2）∠AOP=∠BPQ．理由如下：

∵A（0，1），B（1，0），∴OA=OB=1，∴∠OAB=∠OBA=45°．

∵∠OAP+∠AOP=∠OPB=∠OPQ+∠BPQ，∴45°+∠AOP=45°+∠BPQ，∴∠AOP=∠BPQ．

（3）△OPQ可以是等腰三角形．理由如下：

如图，过P点PE⊥OA交OA于点E．分三种情况讨论：

（ⅰ）若OP=OQ，则∠OPQ=∠OQP，∴∠POQ=90°，∴点P与点A重合，∴点P坐标为（0，1）；

（ⅱ）若QP=QO，则∠OPQ=∠QOP=45°，所以PQ⊥QO，可设P（x，x）代入y=﹣x+1得x，∴点P坐标为（）；

（ⅲ）若PO=PQ．

∵∠OPQ+∠1=∠2+∠3，而∠OPQ=∠3=45°，∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠4=45°，∴△AOP≌△BPQ（AAS），PB=OA=1，∴AP1．

由勾股定理求得：PE=AE=1，∴EO，∴点P坐标为（1）．

综上所述：点P坐标为（0，1），（）或（1）时，△OPQ是等腰三角形．