Question

【题目】如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点．

（1）若为等腰直角三角形．

①求直线的函数解析式；

②在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点、，使 的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值．

（2）如图2，过点作交轴于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①直线解析式， ②N(0,),周长的最小值为；（2）.

【解析】

（1）①利用矩形的性质确定A、B、C点的坐标，再利用等腰三角的性质确定，所以，确定P点的坐标，再根据A点的坐标确定确定直线AP的函数表达式. ②作G点关于y轴对称点G'(-2,0)，作点G关于直线AP对称点G'(3,1)

连接G'G'交y轴于N，交直线AP于M，此时ΔGMN周长的最小．（2）过P作PM⊥AD于M，先根据等腰三角形三线合一的性质证明DM=MA ，再根据角角边定理证明ΔODE≌ΔMDP，根据全等三角形的性质求出点P、D的坐标，代入直线解析式得k=2,b=-2，所以直线PE的解析式为y=2x-2.

（1）①∵矩形，

∴，

∵为等腰直角三角形

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

设直线解析式，过点，点

∴ ∴

∴直线解析式

②作点关于轴对称点，作点关于直线对称点

连接交轴于，交直线于，此时周长的最小．

∵

∴直线解析式

当时，，∴

∵

∴周长的最小值为

（2）如图：作于

∵ ∴且

∴，且 ∴

∵四边形是平行四边形 ∴

又∵

∴

∴ ∴

∵ ∴

∴

设直线的解析式

∴

∴直线解析式