Question

如图，正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，DC上，且△BEF为等边三角形，则△EDF与△BFC的面积比为（　　）

• A、2：1
• B、3：1
• C、3：2
• D、5：3

Answer 1

考点：正方形的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：根据正方形的性质可得AB=BC，∠A=∠C=90°，根据等边三角形的性质可得BE=BF，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后求出DE=DF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，设DE=DF=x，表示出EF、CF，然后在Rt△BCF中利用勾股定理列出方程表示出x²，然后表示出S_△EDF和S_△BFC，求解即可．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，
∵△BEF为等边三角形，
∴BE=BF，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，

BE=BF AB=BC

，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴AE=CF，
∴AD-AE=CD-CF，
即DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
设DE=DF=x，则EF=

2

x，CF=4-x，
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
即4²+（4-x）²=（

2

x）²，
整理得，x²=8（4-x），
∵S_△EDF=

1

2

x²=4（4-x），
S_△BFC=

1

2

×4（4-x），
∴△EDF与△BFC的面积比为2：1．
故选A．

点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关键在于求出△DEF是等腰直角三角形，难点在于分别表示出两个三角形的面积．