Question

8．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（-1，0），点C的坐标为（1，0），点D为y轴一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）若点E在BA的延长线上，求证：AD平分∠CAE；
（3）当A点运动时，$\frac{CA-BA}{AM}$的值是否发生变化？若不变，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠ABD+∠CBD+∠ACB=180°-∠BAC，推出∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-2∠BDO，根据三角形的内角和得到∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°-∠ADC，根据等腰三角形的性质得到∠BDC=2∠BDO，推出∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°-2∠BDO②；①-②即可得到结论；
（2）过D作DN⊥BE于N，推出△BDN≌△CDM，根据全等三角形的性质得到DM=DN，由角平分线的性质得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到BN=CM，根据角平分线的性质得到AN=AM，由于BN=AN+AB=AM+AB，CM=AC-AM，于是得到AM+AB=AC-AM，求得AC-AB=2AM，于是得到结论．

解答 （1）证明：在△ABC中，
∵∠ABD+∠CBD+∠ACB=180°-∠BAC，
∵∠BAC=2∠BDO，
∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=180-2∠BDO，①
在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°-∠ADC，
∵BO=CO=1，
∴∠BDC=2∠BDO，
∴∠ACD+∠ACB+∠CBD=180°-2∠BDO，②
①-②得，∠ABD-∠ACD=0，
∴∠ABD=∠ACD；

（2）解：如图，

过D作DN⊥BE于N，
由于BD=CD，∠ABD=∠ACD；
在△BDN与△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠ACD}\\{∠BND=∠CMD=90°}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDN≌△CDM，
∴DM=DN，
∴AD是∠CAE的角平分线；

（3）解：$\frac{CA-BA}{AM}$的值不发生变化，
理由：∵△BDN≌△CDM，
∴BN=CM，
∵AD是∠CAE的角平分线，
∴AN=AM，
∵BN=AN+AB=AM+AB，CM=AC-AM，
∴AM+AB=AC-AM，
∴AC-AB=2AM，
∴$\frac{CA-BA}{AM}$=2是定值．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．