Question

13．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P、Q同时从点C出发，以相同的速度分别沿射线CA、射线CB运动，作△CPQ关于直线PQ的轴对称图形（记为△C′PQ）当P点到达A点时，点P、Q同时停止运动．设PC=x．△C′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤n时，函数的解析式不同）且当x=m时，S=$\frac{9}{2}$．

（1）填空：n的值为3+$\sqrt{3}$；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）0＜x≤m，m＜x≤n时，函数的解析式不同可知当x=m时，C′在AB上，根据图2得出$\frac{1}{2}$x²=$\frac{9}{2}$，求得x=3，由四边形PCQC′是正方形，得出PC′∥BC，进一步得出∠P′CA=∠B=30°，解直角三角形得出AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC′=$\sqrt{3}$，从而求得n=AC=3+$\sqrt{3}$；
（2）分两种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）∵0＜x≤m，m＜x≤n时，函数的解析式不同，
∴当x=m时，C′在AB上，如图①，
即$\frac{1}{2}$x²=$\frac{9}{2}$，∴x=3，
∵四边形PCQC′是正方形，
∴PC′∥BC，
∴∠P′CA=∠B=30°，
在RT△APC′中，AP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC′=$\sqrt{3}$，
∴n=AC=3+$\sqrt{3}$；
故答案为3+$\sqrt{3}$；
（2）①当0＜x≤3时，△C′PQ在△ABC内，
∴S=$\frac{1}{2}$x²；
②当3＜x≤3+$\sqrt{3}$时，如图②
∵AC=3+$\sqrt{3}$，PC=x，
∴AP=3+$\sqrt{3}$-x，
∴PD=$\sqrt{3}$AP=3$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$x，
∴DC′=x-（3$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$x）=（$\sqrt{3}$+1）x-3$\sqrt{3}$-3，
∴C′E=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DC′=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$x-3-$\sqrt{3}$，
∴S_△DC′E=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{3}$+1）x-3$\sqrt{3}$-3]•（$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$x-3-$\sqrt{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$（x-3）²，
∴S=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$（x-3）²=-$\frac{4\sqrt{3}-3}{6}$x²+（4$\sqrt{3}$+6）x-6$\sqrt{3}$-9，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤3）}\\{-\frac{4\sqrt{3}-3}{6}{x}^{2}+（4\sqrt{3}+6）x-6\sqrt{3}-9（3＜x≤3+\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了动点问题的函数图象，此题涉及的知识有：正方形的性质，直角三角函数，三角形面积以及四边形面积等，有一定的难度．