Question

2．用[x]表示不超过实数x的最大整数，方程x²-3[x]-5=0的所有根的乘积等于$\sqrt{238}$．

Answer 1

分析 根据[x]≤x，解x²-5≤3x得出x的大致范围，由[x]表示不超过实数x的最大整数将x取值区间划分，分别代入原式求解．

解答 解：x²-3[x]-5=0，即x²-5=3[x]，
∵[x]表示不超过实数x的最大整数，
∴x²-5=3[x]≤3x，
解x²-5≤3x，得
$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$≤x≤$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，
①当x∈[$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$，-1）时，[x]=-2，
解x²+6-5=0，无解；
②当x∈[-1，0）时，[x]=-1，
解x²+3-5=0，得x=-$\sqrt{2}$＜-1（舍去），或x=$\sqrt{2}$＞0（舍去）；
③当x∈[0，1）时，[x]=0，
解x²-5=0，得x=-$\sqrt{5}$＜0（舍去），或x=$\sqrt{5}$＞1（舍去）；
④当x∈[1，2）时，[x]=1，
解x²-3-5=0，得x=-2$\sqrt{2}$＜1（舍去），或x=2$\sqrt{2}$＞2（舍去）；
⑤当x∈[2，3）时，[x]=2，
解x²-6-5=0，得x=-$\sqrt{11}$＜2（舍去），或x=$\sqrt{11}$＞3（舍去）；
⑥当x∈[3，4）时，[x]=3，
解x²-9-5=0，得x=-$\sqrt{14}$＜3（舍去），或x=$\sqrt{14}$；
⑦当x∈[4，$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$]时，[x]=4，
解x²-12-5=0，得x=-$\sqrt{17}$＜4（舍去），或x=$\sqrt{17}$；
综上得知方程x²-3[x]-5=0的解为x=$\sqrt{14}$，或x=$\sqrt{17}$，
$\sqrt{14}$×$\sqrt{17}$=$\sqrt{238}$．
故答案为：$\sqrt{238}$．

点评 本题考查的取整函数，解题的关键是依据[x]≤x，解x²-5≤3x得出x的大致范围，再在每个单位1的区间内去求解，即可得出结论．