Question

20．我们定义：有一组对角相等而另一对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC的长．

Answer 1

分析 分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE，得出DE，再用三角函数求出CD，由勾股定理求出AC；
②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性质得出DN=BM=3，BN=DM=2$\sqrt{3}$，求出CN、BC，根据勾股定理求出AC即可．

解答 解：分两种情况：
①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图1所示：

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=10，
∴DE=AE-AD=10-4═6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
②当∠BCD=∠DAB=60°时，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图2所示：

则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴DM=2$\sqrt{3}$
∴BM=AB-AM=5-2=3，
∵四边形BNDM是矩形，
∴DN=BM=3，BN=DM=2$\sqrt{3}$，
∵∠BCD=60°，
∴CN=$\sqrt{3}$，
∴BC=CN+BN=3$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$；
综上所述：AC的长为2$\sqrt{7}$或2$\sqrt{13}$．

点评 此题考查了新定义、四边形内角和定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．