Question

11．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）∠EAB=90°；
（3）若BC=6，CE=4，S_{四边形AECB}=22，求S_△ACD．

Answer 1

分析 （1）因为CE=CD、CA=CB，所以只要证明∠ECA=∠DCB即可．
（2）由（1）可知∠EAC=∠B=45°，因为∠CAB=45°，所以不难证明∠EAB=90°．
（3）要求△ACD的面积只要求出线段CD即可，利用△ECM≌△CDN得到DN=CM，求出△ACE的面积即可求出高EM，利用勾股定理就可以求出线段CM．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，EC=CD，AC=CB，
∴∠ECA=∠DCB
在△ECA和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=CD}\\{∠ECA=∠DCB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD．
（2）证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠B，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠B=∠CAB=∠CAE=45°，
∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=45°+45°=90°．
（3）如图作EM⊥CA，DN⊥CA垂足分别为M、N．
∵∠EMC=∠DNC=90°，
∴∠MEC+∠ECM=90°，∠MCE+∠NCD=90°，
∴∠MEC=∠NCD，
在△EMC和△NCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMC=∠DNC}\\{∠MEC=∠NCD}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△EMC≌△NCD，
∴CM=ND，∴CM=ND，
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$•BC²=18，S_{四边形AECB}=22，
∴S_△ACE=S_{四边形AECB}-S_△ACB=4，
∴$\frac{1}{2}$•CA•EM=4，
∴EM=$\frac{4}{3}$，CM=ND=$\sqrt{E{C}^{2}-E{M}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•AC•DN=$\frac{1}{2}$×$6×\frac{8\sqrt{2}}{3}$=8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定或性质、等角的余角相等等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．