Question

6．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
（1）证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°．请问结论DE=BD+CE是否还成立？如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图（3），D、E是直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

Answer 1

分析 （1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）利用∠BDA=∠BAC=120，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案；
（3）由△ABF和△ACF均为等边三角形，得到BAC=∠BAF+∠CAF=120°，利用∠BDA=∠BAC=120，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到AE=BD，∠ABD=∠CAE，得到∠DBF=∠FAE，根据全等三角形的性质得到DF=EF，∠BFD=∠AFE，根据得到结论．

解答 证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）∵∠BDA=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴BAC=∠BAF+∠CAF=120°，
∴∠BDA=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠BDA=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，∠ABD=∠CAE，
∵∠DBF=60°+∠ABD，∠FAE=60°+∠CAE，
∴∠DBF=∠FAE，
在△BDF与△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠DBF=∠EAF}\\{BF=AF}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△AEF，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∵∠BFD+∠AFD=60°，
∴∠EFA+∠AFD=60°，
即∠DFE=60°，
∴△DEF是等边三角形．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解题的关键．