Question

已知a是实数，且方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x²+2ax+1-12（a²x²-a²-1）=0有无实根？

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：根据方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根，利用根的判别式求出a²＞1，再利用根的判别式，求出△=576a⁴+580a²-52＞0，从而判断出方程x²+2ax+1-12（a²x²-a²-1）=0一定有两个不相等的实根．

解答：解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根，
∴△=（2a）²-4＞0，
∴a²＞1，
∵方程x²+2ax+1-12（a²x²-a²-1）=0可化为（1-12a²）x²+2ax+（12a²+13）=0，
∴△=（2a）²-4（1-12a²）（12a²+13）=576a⁴+580a²-52＞0，
∴方程x²+2ax+1-12（a²x²-a²-1）=0一定有两个不相等的实根．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，要知道，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．