Question

20．如图，在Rt△ABC中，E为CD的中点，FG∥AC．
（1）若BD=DA，试探究AG与BF数量关系；
（2）若BD=kDA，AG与BF数量关系如何，加以证明．

Answer 1

分析 （1）过点B作BN∥AC，与AF延长线交于N，过D作DM∥AC，由AE是Rt△ACD斜边的中线，得到AE=CE=DE，推出△ACE∽△FGE，得到△EFG是等腰三角形，证得AF=CG，推出△AGC≌△CFA，根据全等三角形的性质得到AG=CF，根据平行线的性质得到∠EAC=∠EMD，推出△AEC≌△MED，证得AC=MD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AB}=\frac{MD}{BN}=\frac{1}{2}$，求得$\frac{AC}{BN}=\frac{1}{2}$，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）设DA=a，则BD=ka，则AB=（1+k）a，推出$\frac{DM}{BN}=\frac{AD}{AB}$，于是得到$\frac{AC}{BN}=\frac{a}{（1+k）a}=\frac{1}{1+k}$，证得$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BN}=\frac{1}{1+k}$，即BF=（1+k）CF，于是得到结论．

解答 解：（1）BF=2AG，
证明：过点B作BN∥AC，与AF延长线交于N，过D作DM∥AC，
∵AE是Rt△ACD斜边的中线，
∴AE=CE=DE，
∵FG∥AC，
∴△ACE∽△FGE，
∴△EFG是等腰三角形，
∴EF=EG，
∴AE+EF=CE+EG，
∴AF=CG，
在△AGC和△CFA中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{∠ECA=∠EAC}\\{CG=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CFA，
∴AG=CF，DM∥BN∥AC，
∴∠EAC=∠EMD，
在△AEC与△MED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠EMD}\\{∠AEC=∠DEM}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△MED，
∴AC=MD，
∴△AMD∽△ANB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{MD}{BN}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BN}=\frac{1}{2}$，
∴△ACF∽△NBF，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BN}=\frac{1}{2}$，
∴BF=2CF=2AG；

（2）BD=kDA，设DA=a，
则BD=ka，则AB=（1+k）a，
∴$\frac{DM}{BN}=\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{AC}{BN}=\frac{a}{（1+k）a}=\frac{1}{1+k}$，
∴$\frac{CF}{BF}=\frac{AC}{BN}=\frac{1}{1+k}$，
即BF=（1+k）CF，
∴BF=（k+1）AG．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．