Question

已知AB是半圆⊙O的直径，C是半圆⊙O上一点，且AC•BC=OC²，则∠CBA的度数等于

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题,三角形的面积,圆周角定理,特殊角的三角函数值

专题：

分析：作CF⊥AB于F，连接OC，结合条件运用等积法可得OC²=AC•BC=AB•CF，由AB=2OC可得CF=

1

2

OC，从而可得∠COF=30°，根据圆周角定理可得∠CAB=15°，从而有∠CBA=75°．然后根据对称性可得到当点C在点C′（点C与点C′关于AB的垂直平分线对称）时的∠CBA的值，问题得以解决．

解答：解：作CF⊥AB于F，连接OC，如图．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴S_△ACB=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CF，
即AC•BC=AB•CF．
∵AC•BC=OC²，
∴OC²=AB•CF．
∵AB=2OC，
∴CF=

1

2

OC．
在Rt△OFC中，
∵sin∠COF=

CF

OC

=

1

2

，
∴∠COF=30°，
∴∠CAB=15°．
∴∠CBA=75°．
由对称性可知；当点C在点C′（点C与点C′关于AB的垂直平分线对称）时，∠CBA=15°．
故答案为：75°或15°．

点评：本题考查了圆周角定理、三角形的面积公式、特殊角的三角函数值，考查了运用对称性解题，在解决问题的过程中，容易出现漏解的现象，需引起注意．