Question

2．如图，菱形ABCD周长为8，∠BAD=120°，P为BD上一动点，E为CD中点，则PE+PC的最小值长为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出菱形各边的长度，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE+PC的最小值，由菱形的性质可知E′为AD的中点，由直角三角形的判定定理可得出△DCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．

解答 解：∵菱形ABCD的周长为8，
∴AD=DC=2，
作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE+PC的最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是∠ADC的平分线，
∴E′在AD上，由图形对称的性质可知，DE=DE′=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵DE′=DE=$\frac{1}{2}$DC，
∴△DCE′是直角三角形，
∴CE′=$\sqrt{C{D}^{2}-DE{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
故PE+PC的最小值是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质作出图形是解答此题的关键．