已知关于x的一元二次方程x2+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根.k为正整数．(1)求k的值,(2)当此方程有一根为零时.直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象交于A.B两点.若M是线段AB上的一个动点.过点M作MN⊥x轴.交二次函数的图象于点N.求线段MN的最大值及此时点M的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

已知关于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

分析（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；
（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；
（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．

解答解：（1）∵关于x的一元二次方程${x}^{2}+2x+\frac{k-1}{2}=0$有两个不相等的实数根．
∴$△={b}^{2}-4ac=4-4×\frac{k-1}{2}＞0$．
∴k-1＜2．
∴k＜3．
∵k为正整数，
∴k为1，2．
（2）把x=0代入方程${x}^{2}+2x+\frac{k-1}{2}=0$得k=1，
此时二次函数为y=x²+2x，
此时直线y=x+2与二次函数y=x²+2x的交点为A（-2，0），B（1，3）
由题意可设M（m，m+2），其中-2＜m＜1，
则N（m，m²+2m），
MN=m+2-（m²+2m）=-m²-m+2=-$（m+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$．
∴当m=-$\frac{1}{2}$时，MN的长度最大值为$\frac{9}{4}$．
此时点M的坐标为$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

（3）当y=$\frac{1}{2}$x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），
把A（-2，0）代入y=$\frac{1}{2}$x+b得b=1，
当y=$\frac{1}{2}$x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点．
由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=-x²-2x
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$有一组解，此时$-{x}^{2}-\frac{5}{2}x-b=0$有两个相等的实数根，
则$（\frac{5}{2}）^{2}-4b=0$所以b=$\frac{25}{16}$，
综上所述b=1或b=$\frac{25}{16}$．