Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；
（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．

解答 （1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE=OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE=OF，
∴OF=OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；

（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=12}\\{y+z=13}\\{x+z=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=10}\\{z=3}\end{array}\right.$，
∴CE=2，
∴OE=2．

点评 本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性质，运用方程思想是解本题的关键．