Question

7．已知菱形ABCD中，∠B=60°，AD=4$\sqrt{2}$，点P、M、N分别为AC、AB、BC上的动点，则PM+PN的最小值是2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 如图，作AH⊥BC于H．首先证明△ABC，△ADC的是等边三角形，作点M关于直线AC的对称点M′，因为PM+PN=PM′+PN，所以欲求PM+PN是最小值，只要求PM′+PN的最小值，所以根据垂线段最短，当M″、P、N′共线时，M″N′⊥BC时，PM″+PN′的值最小，易证四边形AHN′M″是矩形，所以N′M″=AH=AB•sin60°，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作AH⊥BC于H．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC的是等边三角形，
作点M关于直线AC的对称点M′，
∵PM+PN=PM′+PN，
∴欲求PM+PN是最小值，只要求PM′+PN的最小值，
∴根据垂线段最短，
当M″、P、N′共线时，M″N′⊥BC时，PM″+PN′的值最小，
易证四边形AHN′M″是矩形，
∴N′M″=AH=AB•sin60°=4$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{6}$，
故答案为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查轴对称最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型．