Question

在正方形ABCD中,点P是CD边上一动点,连接PA,分别过点B,D作BE⊥PA,DF⊥PA,垂足分别为E,F,如图①.

(1)请探究BE,DF,EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系?若点P在DC的延长线上,如图②,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点P在CD的延长线上呢,如图③,请分别直接写出结论.

(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明.

Answer 1

【解析】(1)在图①中,BE,DF,EF这三条线段长度具有这样的数量关系:BE-DF=EF;

在图②中,BE,DF,EF这三条线段长度具有这样的数量关系:DF-BE=EF;

在图③中,BE,DF,EF这三条线段长度具有这样的数量关系:DF+BE=EF.

(2)答案不唯一.对图①中结论证明如下:

∵BE⊥PA,DF⊥PA,∴∠BEA=∠AFD=90°,

∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠BAD=90°,

∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°,

∴∠BAE=∠ADF,∴△BAE≌△ADF,∴BE=AF,AE=DF,

∵AF-AE=EF,∴BE-DF=EF.