Question

13．如图，抛物线y=ax²+bx与x轴交于点A，其顶点B在直线l：y=-x上，抛物线的对称轴与x轴交于点C（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上的点M（x₀，y₀）在x轴的下方，求当|y₀|-|x₀|取得最大值时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点M且平行于y轴的直线交直线于点N，点P在抛物线上，点Q在直线BC上，问以N、B、P、Q为顶点能否构成平行四边形？若能，则求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意易知，抛物线对称轴x=2，又顶点在y=-x上，得到顶点B（2，-2），用顶点坐标公式求系数a、b的值即可；
（2）列出|y₀|-|x₀|与x的函数关系式，求函数顶点坐标即可；
（3）能；首先求出N的坐标，然后分类讨论，BN为对角线和BN为边两种情况分析．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴与x轴交于点C（2，0），
∴对称轴为：x=2，
∵其顶点B在直线l：y=-x上，
∴B（2，-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=2}\\{\frac{-{b}^{2}}{4a}=-2}\end{array}\right.$
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-2，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x；
（2）∵抛物线上的点M（x₀，y₀）在x轴的下方，
∴x₀＞0，y₀＜0，
∴|y₀|-|x₀|=-（$\frac{1}{2}$x²-2x）-x=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
∴当x=1时，|y₀|-|x₀|取得最大值，
把x=1代入y=$\frac{1}{2}$x²-2x=-$\frac{3}{2}$；
∴M（1，-$\frac{3}{2}$）；
（3）能；
易知B（2，-2）、N（1，-1）
若以N、B、P、Q为顶点构成平行四边形，则
①如图1，当BN为对角线时，N点到对称轴的距离为1，则P到对称轴的距离等于1，则P点的横坐标为3，则P（3，-$\frac{3}{2}$）；
②如图2，当BN为边时，则NP∥BQ，
∴P与M重合，
∴P（1，-$\frac{3}{2}$）．
综上所述：P（3，-$\frac{3}{2}$）或P（1，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了待定系数法求函数关系式，二次函数图象图象与性质，二次函数最值问题，运用数形结合思想分类讨论解决平行四边形存在问题．