Question

5．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP=2，求CQ的长．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求得BC=10．通过“两角法”证得△CDE∽△CAB，则对应边成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；
（2）如图2，当P点在AB上时，由∠PDQ=90°就可以得出∠2=∠4，就可以证明△PBD∽△QED，就可以EQ的值，从而求得CQ的值；如图2-1，当P点在AB的延长线上时，证明△PBD∽△QED，由相似三角形的性质就可以求出结论；

解答 解：：（1）如图1，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴根据勾股定理得到，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=10
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=5．
∵DE⊥BC．
∴∠A=∠CDE=90°∠C=∠C
∴△CDE∽△CAB
∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，
即DE：6=CE：10=5：8
∴DE=$\frac{15}{4}$，CE=$\frac{25}{4}$；
（2）如图2，∵△CDE∽△CAB，
∴∠B=∠DEC．
∵∠PDQ=90°
∴∠1+∠4=90°．
∵∠1+∠2=90°
∴∠2=∠4，
∴△PBD∽△QED，
∴$\frac{PB}{EQ}$=$\frac{BD}{ED}$，
∴$\frac{2}{EQ}$=$\frac{5}{\frac{15}{4}}$，
∴EQ=$\frac{3}{2}$，
∴CQ=CE-EQ=$\frac{25}{4}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{19}{4}$．
如图2-1，∵∠B=DEC，
∴∠PBD=∠QED．
∵∠PDQ=90°
∴∠1+∠2=90°．
∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴△PBD∽△QED
∴$\frac{PB}{EQ}$=$\frac{BD}{ED}$，
∴$\frac{2}{QE}$=$\frac{5}{\frac{15}{4}}$，
∴EQ=$\frac{3}{2}$，
∴CQ=$\frac{25}{4}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{31}{4}$，
故CQ=$\frac{19}{4}$或$\frac{31}{4}$；

点评 本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求证三角形的角相等是难点，证明三角形相似是关键．