Question

11．已知关于x的方程x²+（m-2）x+m-3=0．
（1）求证：方程x²+（m-2）x+m-3=0总有两个实数根；
（2）求证：抛物线y=x²+（m-2）x+m-3总过x轴上的一个定点；
（3）在平面直角坐标系xOy中，若（2）中的“定点”记作A，抛物线y=x²+（m-2）x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出△即可确定△≥0，进而得解；
（2）当y=0时，求出方程x²+（m-2）x+m-3=0的解，进而得证；
（3）根据题意，确定△OBC的面积小于或等于8，进而得解．

解答 解：（1）a=1，b=m-2，c=m-3，
△=b²-4ac=（m-2）²-4（m-3）
=m²-4m+4-4m+12
=m²-8m+16
=（m-4）²
∵（m-4）²≥0，
∴方程x²+（m-2）x+m-3=0总有两个实数根；
（2）x=$\frac{2-m±\sqrt{（m-4）^{2}}}{2}$=$\frac{2-m±（m-4）}{2}$
∴x₁=-1，x₂=-m+3，
∴抛物线y=x²+（m-2）x+m-3总过x轴上的一个定点（-1，0）；
（3）∵抛物线y=x²+（m-2）x+m-3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，
∴B（3-m，0），C（0，m-3），
∴△OBC为等腰直角三角形，
∵△OBC的面积小于或等于8，
∴OB，OC小于或等于4，
∴3-m≤4或m-3≤4，
解得：-1≤m≤7，
∴-1≤m≤7，且m≠3．

点评 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，以及一元二次方程的求根公式，还考查了一元二次方程与二次函数之间的联系，是综合性比较强的题目，注意总结．