Question

3．如图，△ABC中，∠A=60°，BO₁、BO₂三等分∠ABC，CO₁、CO₂三等分∠ACB．
（1）求∠BO₁C的度数；
（2）连接O₁O₂，求∠BO₂O₁的度数．

Answer 1

分析 （1）由∠A=60°，根据三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，再由线段BO₁、BO₂把∠ABC三等分，线段CO₁、CO₂把∠ACB三等分，得到∠O₁BC=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{1}{3}$∠ACB，于是∠O₁BC+∠PCB=$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{3}$×120°=40°，再根据三角形的内角和定理得，∠BO₁C=180°-40°=140°．
（2）由线段BO₁、BO₂把∠ABC三等分，线段CO₁、CO₂把∠ACB三等分，得到∠O₂BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O₂CB=$\frac{2}{3}$∠ACB，且O₁点为△O₂BC的内心，即O₁O₂平分∠BO₁C；于是∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$×120°=80°，再根据三角形的内角和定理得，∠BO₂C=180°-80°=100°，即可得到∠BO₂O₁的大小．

解答 解：（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
又∵线段BO₁、BO₂把∠ABC三等分，
∴∠O₁BC=$\frac{1}{3}$∠ABC，
又∵线段CO₁、CO₂把∠ACB三等分，
∴∠O₁CB=$\frac{1}{3}$∠ACB，
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{3}$×120°=40°，
∴∠BO₁C=180°-40°=140°，
（2）∵线段BO₁、BO₂把∠ABC三等分，
∴∠O₂BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，并且BO₁平分∠O₂BC；
又∵线段CO₁、CO₂把∠ACB三等分，
∴∠O₁CB=$\frac{2}{3}$∠ACB，并且O₁C平分∠O₂CB；
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$×120°=80°，并且O₁点为△O₂BC的内心，即O₂O₁平分∠BO₂C，
∴∠BO₂C=180°-80°=100°，
∴∠BO₂O₁=50°．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，关键是根据三角形的三个内角的和为180°．同时利用了角平分线的性质和三角形的内心性质．