Question

如图，已知点A（0，4），B（2，0），点M是线段AB上一动点（不与点、B重合），以M为顶点的抛物线y=（x-m）²+n与直线OA交于点C，求线段AC长度的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：先利用待定系数法求出直线AB的函数解析式为y=-2x+4，再利用二次函数的性质得抛物线顶点M的坐标为（m，n），由于点M在线段AB上，则n=-2m+4，0≤m≤2，所以y=（x-m）²-2m+4，接着表示出C点坐标（0，m²-2m+4），则AC=OA-OC=-m²+2m=-（m-1）²+1，然后根据二次函数的性质确定AC的最大值从而得到线段AC长度的取值范围．

解答：解：设直线AB的函数解析式为：y=kx+b．
∵点A坐标为（0，4），点B坐标为（2，0），
∴

b=4 2k+b=0

，解得：

k=-2 b=4

，
∴直线AB的函数解析式为y=-2x+4；
∵以M为顶点的抛物线为y=（x-m）²+n，
∴抛物线顶点M的坐标为（m，n），
∵点M在线段AB上，
∴n=-2m+4，0≤m≤2，
∴y=（x-m）²-2m+4．
把x=0代入y=（x-m）²-2m+4得y=m²-2m+4，则C点坐标为（0，m²-2m+4），
∴AC=OA-OC=4-（m²-2m+4）=-m²+2m=-（m-1）²+1，
∴AC的最大值为1，
∴线段AC长度的取值范围为0≤AC≤1．

点评：本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．