Question

9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，AD+BC=AB．则：
（1）AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC吗？为什么？
（2）AE⊥BE吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．延长AE、BC交于点F，先证明△ADE≌△FCE，再证明△ABF是等腰三角形，利用三线合一即可解决问题．
（2）利用三线合一即可解决．

解答 （1）解：AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
理由：延长AE、BC交于点F．
∵AD∥BF，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF}\\{DE=EC}\\{∠AED=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，∠DAE=∠F，AE=EF，
∵AD+BC=AB，
∴BC+CF=BC+AD=BF=AB，
∵AB=BF，AE=EF，
∴BE平分∠ABF，∠BAF=∠BFA=∠DAE，
∴EA平分∠DAB．
（2）结论：BE⊥AE．
证明：由（1）可知：BA=BF，AE=EF，
∴BE⊥AF（三线合一），
即BE⊥AE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，记住这种辅助线的添加方法，属于中考常考题型．