Question

【题目】已知抛物线与轴的交点分别为（1，0）、（3，0），与轴的交点为．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）点（4，）和（，）为抛物线上的两点，当时，写出的取值范围；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点,使最大?若存在,请求出点的坐标;若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1），（2，－1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）把、坐标代入得到方程组,解方程组即可；化成顶点式即可求出顶点坐标；

（2）求出t值并求出当y=t时另外一点的坐标，观察图象的升降趋势即可求出当时，的取值范围；

（3）由抛物线的对称性知，点B关于对称轴的对称点是A，于是问题就转化成了“在抛物线的对称轴上是找点,使最大”，直线AD与对称轴的交点就是所要找的点M，据此求解即可.

解：（1）∵抛物线经过点（1，0）、（3，0），

∴，

解得，，

∴抛物线的解析式为，

∴

∴抛物线的顶点坐标是（2，－1）

（2）当x=4时，y=3，

∴点P坐标为（4，3）

∴点P（4，3）关于对称轴对称的点的坐标为（0，3），

∴当即n>3时，的取值范围是或.

（3）由抛物线的对称性知，其对称轴是的垂直平分线，

∴，

∴

由三角形的三边关系，得 ，

∴

∴当点、、共线时，最大，为的长度

设直线的解析式为，则

解得，

∴直线的解析式为

由（1）得，抛物线的对称轴是直线，

把x=2 代入中得y=-3，

即点的坐标为，

∴抛物线的对称轴上存在点,使最大