Question

7．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象相交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（-3，0），A点的横坐标是3，tan∠CDO=$\frac{1}{3}$．
（1）求一次函数y=ax+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）点M为第一象限双曲线上的一个动点，是否存在以M、A、D、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥x轴于点E，由三角函数的定义可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得一次函数和反比例函数的解析式；
（2）由题意可知OD=AM，可求得M点的坐标，再把M点的坐标代入反比例函数解析式进行验证即可．

解答 解：
（1）如图，过A作AE⊥x轴于点E，则∠AED=90°，OE=6，

∵D（-3，0），
∴OD=3，
∴DE=OD+OE=6，
在Rt△AED中，∠AED=90°，
∴tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$，
∵tan∠CDO=tan∠ADE=$\frac{1}{3}$，
∴AE=DE•tan∠ADE=$\frac{1}{3}$×6=2，
∴A（3，2），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象过点A，
∴k=3×2=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$，
∵一次函数y=ax+b经过A、D两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=2}\\{-3a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=$\frac{1}{3}$x+1；
（2）不存在．
∵点M为第一象限双曲线上的一个动点，
∴以点A、D、O、M为顶点的平行四边形为平行四边形ADOM，
即AM∥OD，AM=OD，
∵A（3，2），D（-3，0），
∴OD=AM=3，
∴M（6，2），
当x=6时，y=$\frac{6}{6}$=1≠2，
∴点M不在双曲线上，这与点M为第一象限双曲线上的一个动点相矛盾，
∴不存在满足条件的点M．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、平行四边形的性质等知识．在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中利用平行四边形的性质求得M点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大，较易得分．