Question

6．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．

解答 解：连接CD，当CD⊥AB时，CD取得最小值，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴AC=4，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2$\sqrt{3}$．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵∠EFD+∠CED=90°，∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴线段EF的最小值为4$\sqrt{3}$，
故答案为4$\sqrt{3}$

点评 本题考查了圆的综合题、轴对称的性质，垂线段最短，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是求出CD的最小值，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．