Question

3．如图，在⊙0中，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，∠ACB=60°．
（1）求证：∠A0B=∠BOC=∠AOC；
（2）若D是$\widehat{AB}$的中点，求证：四边形0ADB是菱形．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABC是等边三角形，得AB=AC=BC，推出$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$由此即可证明．
（2）通过计算发现∠OAB=∠OBA=∠DAB=∠DBA=30°，由此即可解决问题．

解答 证明：（1）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠AOB=∠AOC=∠BOC．
（2）∵∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵∠ACB=60°，∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=120°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=30°，
∴∠DAB=∠ABO，∠DBA=∠BAO，
∴AD∥OB，BD∥AO，
∴四边形AOBD是平行四边形，
∵OA=OB，
∴四边形AOBD是菱形．

点评 本题考查菱形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是正确理解在同圆或等圆中，相等圆心角的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，属于中考常考题型．