Question

已知二次函数y=-

1

2

（x-

3

）²+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为P．若∠APB=60°，求点C坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：设对称轴交x轴于点D，由条件可知△APB为等边三角形，利用等边三角形的性质可用c表示出B点的坐标，代入抛物线解析式可求得c，再令x=0，可求得C点坐标．

解答：解：设对称轴交x轴于点D，
又∵二次函数交x轴于A、B两点，
∴DA=DB，
∴PA=PB，且∠APB=60°，
∴△APB为等边三角形，
又∵y=-

1

2

（x-

3

）²+c，
∴P点坐标为（

3

，c），
∴OD=

3

，PD=|c|，
∴DB=

3

PD=

3

|c|，
∴OB=

3

+

3

|c|，
∴B点坐标为（

3

+

3

|c|，0），
又∵B在抛物线上，代入可得3c²-2c=0，解得c=0或

2

3

，
当c=0时，与x轴只有一个交点，舍去，
∴c=

2

3

，
∴抛物线解析式为y=-

1

2

（x-

3

）²+

2

3

，
令x=0，可求得y=-

5

6

，
∴C点坐标为（0，-

5

6

）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式，用c表示出B点的坐标求得c的值是解题的关键，注意等边三角形性质的应用．