Question

6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CD⊥AB于D，若AD=3，BC=10，CD=6，则⊙O的半径为$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 连接BO，延长BO交⊙O于点E，连接CE，由圆周角定理和已知条件易证△ADC∽△ECB，由相似三角形的性质可求出BE的长，进而可求出⊙O的半径．

解答 解：连接BO，延长BO交⊙O于点E，连接CE，
∴∠BCE=90°，
∵CD⊥AB于D，AD=3，CD=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠A=∠E，
∴△ADC∽△ECB，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{BE}$，
∵BC=10，
∴$\frac{6}{10}=\frac{3\sqrt{5}}{BE}$，
∴BE=5$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心的有关知识，用到的知识点还有圆周角定理、勾股定理以及相似三角形的判断和性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．