Question

16．材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边形叫梯形的腰，连接梯形两腰中心的线段叫梯形的中位线，梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
如图（1）在梯形ABCD中，AD∥BC．
∵E、F是AB、CD的中点，
∴EF∥AD∥BC，EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
如图（2）在△ABC中，∵E是AB的中点，EF∥BC，
∴F是AC的中点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．
如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°
（1）求证：EF=AC；
（2）若OD=3$\sqrt{3}$，OC=5，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC且∠DBC=30°可知∠ADC=30°，OA=$\frac{1}{2}$AD；同理可得出OC=$\frac{1}{2}$BC；由AC=OA+OC=$\frac{1}{2}$（AD+BC）结合给定的材料一即可证明结论成立；
（2）结合（1）可知OA=$\frac{1}{2}$AD，OC=$\frac{1}{2}$BC，在直角△AOD中由已知条件可求出OA的长度，根据边与边之间的关系可得出线段ON的长度，由MN∥AD可得出∠OMN=30°，MN=2ON，代入ON的长度即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠DBC=30°．
在Rt△AOD中，∠ADO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$AD．
同理：OC=$\frac{1}{2}$BC．
∴AC=OA+OC=$\frac{1}{2}$AD+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（AD+BC）．
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC），
∴EF=AC．
（2）解：由（1）得：在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=$\frac{1}{2}$AD，OC=$\frac{1}{2}$BC，
∵OD=3$\sqrt{3}$，OC=5，
∴OA=OD•tan30°=3．
∵AD∥EF，
∴∠ADO=∠OMN=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$MN．
∵EF∥BC，且E为线段AB中点，
∴EN为△ABC中位线，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（OA+OC）=4，
∴ON=AN-OA=4-3=1，
∴MN=2ON=2．

点评 本题考查了梯形中位线的性质、平行线的性质、三角形中位线定理以及特殊角的三角函数，解题的关键：（1）找出AC=OA+OC=$\frac{1}{2}$（AD+BC）；（2）根据边角关系求出ON的长度．本题属于中档题，难度不大，解决该类型题目时，利用给定材料中梯形中位线的性质结合边角关系寻找相等的量．