Question

1．如图1，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC，以O为圆心，3为半径作⊙O刚好与AC相切于D．

（1）求证：BC与⊙O相切．
（2）若AE切⊙O于E，P为弧DE上一点，过P作⊙O的切线，分别交AC、AE于G、F两点，连PA、PD，且满足GA=$\frac{3}{4}$AF．求证：PA⊥PD．
（3）如图2，若⊙O交坐标轴于M、N、T、R，点P为弧MR上任一点，连MP、PR、PN．现给出两个结论①$\frac{PN-PR}{PM}$为定值；②PN-PR为定值．其中只有一个结论正确，请选择正确的结论证明并求值．

Answer 1

分析 （1）过点O作OH⊥BC，连接OD，如图1，要证BC与⊙O相切，只需证OH=OD即可；
（2）连接OE，如图1，易证四边形ODAE是正方形，则有AD=AE=OD=3．设AF=4x，则GA=$\frac{3}{4}$AF=3x，根据勾股定理可得GF=5x，根据切线长定理可得GD=GP，FP=FE，由此可得到AD+AE=12x=6，即可得到x=$\frac{1}{2}$，从而可得到AG=DG=GP=$\frac{3}{2}$，由此可证到PA⊥PD；
（3）连接PO并延长交⊙O于Q，连接MQ交PN于S，连接NQ，如图2，根据圆周角定理可得∠MPN=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，∠PMQ=∠PNQ=90°，即可得到∠PSM=∠NSQ=∠SQN=45°，从而可得到PS=$\sqrt{2}$PM，NS=NQ．由∠POR=∠NOQ可得到PR=NQ，则有PR=NS，从而可得PN-PR=PN-NS=PS=$\sqrt{2}$PM，即可得到$\frac{PN-PR}{PM}$=$\sqrt{2}$（定值），PN-PR随点P的变化而变化，不是定值．

解答 证明：（1）过点O作OH⊥BC，连接OD，如图1，
则有OD⊥AC．
∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠CAO=∠ACO=∠BCO=45°，
∴OH=OD，
∴BC与⊙O相切；

（2）连接OE，如图1，
则有OE⊥AE．
∵OD⊥AC，OE⊥AE，OD=OE，
∴∠EAO=∠DAO=45°，
∴∠DAE=90°，
∴∠ODA=∠DAE=∠AEO=90°，
∴四边形ODAE是矩形．
∵OD=OE，
∴矩形ODAE是正方形，
∴AD=AE=OD=3．
设AF=4x，则GA=$\frac{3}{4}$AF=3x，
∴GF=5x．
∵GF、GD、EF都是⊙O的切线，
∴GD=GP，FP=FE，
∴AD+AE=AG+GF+AF=12x=6，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴AG=$\frac{3}{2}$，
∴GP=GD=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$=AG，
∴∠PAG=∠PGA．
∵GD=GP，
∴∠GPD=∠GDP．
∵∠GAF+∠APG+∠GPD+∠GDP=180°，
∴2∠APG+2∠GPD=180°，
∴∠APD=90°即AP⊥DP；

（3）结论①正确，结论②错误．
证明：连接PO并延长，交⊙O于Q，连接MQ交PN于S，连接NQ，如图2．
则∠MPN=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，∠PMQ=∠PNQ=90°，
∴∠PSM=45°，∠NSQ=45°=∠SQN，
∴PS=$\sqrt{2}$PM，NS=NQ．
∵∠POR=∠NOQ，∴PR=NQ，
∴PR=NS，
∴PN-PR=PN-NS=PS=$\sqrt{2}$PM，
∴$\frac{PN-PR}{PM}$=$\sqrt{2}$（定值）．
∵点P为弧MR上任一点，
∴PM随着点P的变化而变化，
∴PN-PR随着点P的变化而变化．

点评 本题主要考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、正方形的判定与性质、圆心角与弦的关系、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，证到AG=DG=GP是解决第（2）小题，把PN-PR转化为PS是解决第（3）小题的关键．